Der Mathehammer des Imperators - Hilfsmittel für Freunde der Stochastik.

  • Der Mathehammer, ein oft genutztes Wort in Debatten. Ich will mich hier allen Fragen annehmen die im Verlauf auftauchen und hoffentlich selbst das ein oder andere dabei lernen. Kommen wir also zu ein paar Fragen die ich selbst klären möchte.


    Was ist der Mathehammer?


    Was mache ich mit dem Mathehammer?


    Was zeigt mir der Mathehammer?




    Q: Kommen wir zur ersten Frage: Was ist der Mathehammer?


    A: Der Mathehammer ist ein Begriff für alle Stochastischen Ergebnisse die man ermittelt um Wahrscheinlichkeiten im Spiel zu bestimmen. Nicht mehr nicht weniger.


    Beispiel: Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit bei einer Münze (Kopf/Zahl) die man hoch schnippt, Kopf oben landet?
    Wir wissen alle, eine Münze (den Rand mal ungeachtet) hat zwei Seiten. Sie wird also auf einer der Beiden Seiten landen und die andere wird nach oben zeigen. Demnach ist Wahrscheinlichkeit das Kopf oben Landet bei 50%. Fifty-Fifty wie man so schön sagt.


    Beispiel Zwei: Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit mit einem Würfel eine "3" zu Würfeln?
    Wir nehmen an das Gewicht des Würfels und der Wurf ist vollkommen ohne Tricks und Ungleichmäßigkeiten. Ein Würfel hat 6 Seiten. Die "3" ist auf einer der 6 Seiten abgebildet. Mathematisch gesproch 1 von 6 Seiten. Die Wahrscheinlichkeit das die "3" oben liegt, ist 1/6, oder 16,6% Wahrscheinlichkeit das die "3" oben liegt.




    Q: Was mache ich mit dem Mathehammer?


    A: Mit dem Mathehammer kannst du, grobschlächtig Formuliert, ermitteln wie gut oder schlecht Verschiedene Werte der Einheiten im Durchschnitt unter bestimmten Voraussetzungen sind. Man kann die Wirkung zweier Waffen auf ein Ziel vergleichen und herausfinden welche im Durchschnitt "besser" ist oder die Wirkung von Buffs oder Mali auf andere Einheiten besser einschätzen.


    Im Spoiler ist ein Beispiel für so eine Rechnung vorhanden.




    Q: Was zeigt der Mathehammer?


    A: Er zeigt einem mit Zahlen was viele im Gefühl haben. Aber sobald man Variablen dazu nimmt wie Buffs und Debuffs durch Zauber, Strategeme und Auren können sich Verblüffende Unterschiede offenbaren die man so nicht vorausgesehen hätte und hebt hervor wo Punkte effizienter benutzt werden können.


    Im Spoiler ist eine Beispiel Rechnung für zwei Waffenplattformen die, die selbe Rolle erfüllen, mit dem selben Schadensoutput aber eins nur 72% der Punkte kostet. Und damit Punkte effizienter ist was den Schaden an einem bestimmten Ziel angeht.




    Im zweiten Post eröffne ich ein FAQ, im dritten gibt es Matheformeln zum raus picken für die korrekte Berechnung von Würfen, im vierten die besten Stochastischen Fehltritte von GW, dinge die man ruhig an sie weiterreichen sollte mit der Bitte um Änderung. Ich hoffe es hilft dem ein oder anderen seine Liste effizienter zu gestalten.

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  • Abgeleitete FAQ von Illions, SavageSkulls und Starbeagle Beitrag:
    Q: Wie sicher sind die Ergebnisse mit dem Mathehammer?
    A: Sicher sind die Ergebnisse überhaupt nicht. Würde man einen Würfel unendlich mal würfeln, wäre das Ergebnis aus dem Mathehammer der Durchschnittswert. Wie Illion richtig sagt, gibt es einem ggf ein Falsches Gefühl von Sicherheit den ermittelten Werten blind zu vertrauen. Der aus dem Mathehammer hervorgehende Durchschnittswert ist das Ergebnis der Streuung von unendlich vielen Würfen. Nehmen wir mal einen BF von 3+ an einer beliebigen Einheit. Statistisch sollte man in 4/6 (66,6%) aller Fälle Treffen. Das bedeutet aber auch im Umkehrschluss das man zu 2/6 (33,3%) nicht trifft.


    Jeder Würfelwurf für sich hat aber die selbe Wahrscheinlichkeit und spielt sich in seinem eigenen kleinen Universum ab. Ihn interessiert nicht das er in den letzten fünf Würfen mit der 1 oben gelandet ist. Das die 1 wieder kommt ist genauso Wahrscheinlich in diesem Wurf, wie das eine beliebige andere Zahl kommt. Ebenso irrelevant ist was der Würfel neben ihm anzeigt.




    Q: Ist jeder Würfel gleich gut?
    A: Klares Nein. Ein Herr, dessen Beitrag ich nach der Antwort verlinke, welcher auf die DAKKADAKKA Seite führt, hat einen Beitrag dazu gebracht. Ein perfekter Würfel hat die Wahrscheinlichkeit von 16,6% das er auf eine beliebige Seite fällt. Weniger Hochwertige Würfel (dazu gehören auch die von GW) haben jedoch eine 29% Wahrscheinlichkeit auf der 1 zu landen. Das liegt zu einem an den abgerundeten Kanten als auch an eventuellen Lufteinschlüssen und sonstigen Produktionsfehlern. Wenn der eine oder andere Würfel also seltsamer weise unverhältnismäßig oft auf einer bestimmten Seite landet, muss das nicht zwingend eine abweichende Streuung sein, sondern, falls nicht durchsichtig und nicht mit abgerundeten Kanten, kann ein Materialfehler die Ursache sein. Der eine oder andere kann das dann auch zu seinem Vorteil nutzen... was jedoch ein Unfairerer Vorteil wäre.


    Die besten Würfel kosten etwas mehr, es handelt sich dabei um Casino Würfel die wegen gesetzlicher Herstellungsvorgaben gleichmäßige Ergebnisse liefern müssen. Richtige Casino-Würfel erkennt man zum einen am hohen Preis (für einen Würfel), zum anderen an den scharfen Kanten als auch das sie Durchsichtig sind, wodurch man Fehler im Inneren (Lufteinschlüsse/Gewichte) erkennen würde.


    Das heißt nicht das GW-Würfel schlecht sind und wenn beide Spieler ähnliche oder die gleichen Würfel benutzen macht es für das Spiel selbst keinen Unterschied.


    Link zum DakkaDakka beitrag: LINK

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  • Hier alle genutzten Formeln zu Berechnungen:
    Meine Mathe Kenntnisse sind nicht weit hergeholt, also kann es hier den ein oder anderen Fehler geben, oder einfachere Schreibweisen. Auf Wunsch und Nachfrage werden auch weitere Formeln hinzugefügt.



    Berechnung von Schaden an einer Einheit durch eine Waffe:

    "Anzahl der Schüsse" * "Treffer Wahrscheinlichkeit" * "Verwundungs Wahrscheinlichkeit" * "1 - Wunden Verhinderung" * "Schaden pro nicht verhinderte Wunde" * "1 - ignorierter / rückwirkend verhinderter Schaden"


    Bsp.: Plague Marine bekommt Beschuss durch einen unbewegten Punisher mit BF 4+

    2*20 Schuss * 3/6 Treffer Wahrscheinlichkeit * 3/6 Verwundungs Wahrscheinlichkeit * (1 - 4/6 Rüstungswurf) * 1 Schaden pro nicht verhinderte Wunde * (1 - 2/6 ignorierte Wunde) = 2,22 Schadenspunkte


    Würfelwürfe für Anzahl der Augen (bsp Schaden pro nicht verhindertem Treffer oder Anzahl der Schüsse)

    W6 = (1+2+3+4+5+6)/6

    2W6 = (2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12)/11

    3W6 = (3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15+16+17+18)/16

    4W6 = (4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15+16+17+18+19+20+21+22+23+24)/20
    ...


    Einfachere Schreibweise wäre es mit min und max zu schreiben:

    W6 = (1+6)/2

    2W6 = (2+12)/2

    3W6 = (3+18)/2

    4W6 = (4+24)/2
    ...


    BF = Wahrscheinlichkeit:

    2+ = 5/6

    3+ = 4/6

    4+ = 3/6

    5+ = 2/6

    6+ = 1/6


    Werfen von zwei Würfeln wobei man den höheren Wert behält:

    (1*1+2*3+3*5+4*7+5*9+6*11)/36


    Werfen von zwei Würfeln wobei man den niedrigeren Wert behält:

    (1*11+2*9+3*7+4*5+5*3+6*1)/36


    Einmalige Wiederholen von 1en:
    X Anzahl der Schüsser, Y Wahrscheinlichkeit eines Treffers

    X*(Y+1/6*Y)


    Bsp.: 1 Schuss BF 4+

    1*(3/6+1/6*3/6)


    Einmalige Wiederholen aller Misslungenen Würfe:
    X Anzahl der Schüsser, Y Wahrscheinlichkeit eines Treffers

    X*(Y+(1-Y)*Y)


    Bsp.: 1 Schuss BF 4+

    1*(3/6+(1-3/6)*3/6)

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  • LR Vanquisher, der dedizierte Fahrzeugvernichter der Imperialen Garde.


    Vanquisher Reichweite: 72" Typ: Schwer 1 Stärke: 8 Durchschlag: -3 Schaden pro Wunde: W6 Fähigkeit: Wirf bei der Ermittlung des Schaden zwei Würfel, behalte den höheren Wert.


    Jeder, ich wiederhole und Betone, JEDER andere Panzertyp der Imperialen Garde (mit Ausnahme des Standard Profils der Plasmakanone) verursacht mehr Schaden an anderen Einheiten mit hohem Widerstand, hohem Rüstungsschutz und großer Anzahl der Lebenspunkte aka PANZER als der designierte Panzerjäger der Imperialen Garde.


    Würde man die Stärke auf 10 erhöhen und den Durchschlag auf -4 könnte er seinem Namen zumindest gerecht werden. Es wäre schlechter als Executioner mit Überladungs Profil der Plasmawaffe und schlechter als der Demolishener der eine höhere Kadenz hat. Eine Preiserhöhung zwischen 0 und 20 Punkten wäre absolut vertretbar, 0 Punkte weil er gegen den Falschen Gegner (Große Anzahl von 1LP Einheiten) keinen Stich macht im Gegensatz zum Punisher der in dieser Disziplin dann glänzt.

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  • Finde ich super, dass der Mathehammer mal im Einsteigerbereich erklärt wird. An dieser Stelle soll aber auch darauf hingewiesen, dass man dadurch schnell zu einer falschen Sicherheit verführt wird und dann meint, dass man unter unsäglichem Würfelpech leidet. Schuld daran ist der Erwartungswert (ich finde leider den Artikel nicht mehr, der das sehr gut erklärt hat). Am Beispiel des Punisherbeschusses oben auf die Plaquemarines kann man das vielleicht gut nachvollziehen. Nach dieser Berechnung gehe ich davon aus, dass mit einer Salve zwei Marines eigentlich sicher fallen. Aber wir reden hier immer noch von Wahrscheinlichkeiten, wenn also nur 1 Marine stirbt, ist das immer noch genauso im Bereich der normalen Streuung wie, wenn 3 weggeballert werden. Wenn ich also zwei Marines an einer Missionskritischen Stelle sicher ausschalten will, dann muss ich mehr Beschuss einplanen, als nur meinen gut durchgerechneten Punisher.
    Spart viel Frust und rettet arme Würfel, die nichts dafür können, weil sie ihren Job gemacht haben, vor dem Flammentod durch einen (zu unrecht) gefrusteten Spieler :D



    Edit: Hier noch ein hilfreicher Link für Mathhammer - berechnet anscheinend noch auf Basis der 7., aber hilft dennoch:
    http://www.mathhammer40k.com/

  • Der Erwartungswert eine Würfelwurfs ist 3,5. Sollte eigentlich Jedem klar sein, das man diese Zahl nicht würfelt.
    Es geht dabei immer um die Betrachtung, was wäre das durchschnittliche Ergebnis wenn ich unendlich Mal würfel.


    Interessant wird es dann bei 2 oder 3 Würfeln, denn da ist nicht mehr jedes Ergebnis gleich wertig wie bei einem einzelnen Würfel.

  • Edit: Hier noch ein hilfreicher Link für Mathhammer - berechnet anscheinend noch auf Basis der 7., aber hilft dennoch:
    http://www.mathhammer40k.com/



    Hier werden sie geholfen:


    https://www.mathhammer8thed.com



    Zum Erwartungswert mit einem einfachen Bespiel:


    Ich will mit 2 Würfen (w6) auf 4+ mind. ein erfolgreiches Ergebnis. Statistisch erreiche ich mein Ergebnis, da jeder Würfelwurf eine 50% Chance hat, die 4+ zu erreichen, soweit der Erwartungswert. Allerdings erreichen 25% aller möglichen Ergebnisse nicht das gewünschte Ziel. Also erreiche ich mind. eine 4+ nur zu 75% und nicht zu 100%, wie mich die Statistik vielleicht glauben lassen möchte.


    Je schlechter die Ausgangswahrscheinlichkeit, desto höher ist die Abweichung zwischen erwartetem und erzieltem Ergebnis. Es macht also mehr Sinn seine Orks in den Nahakampf zu schicken als doppelt so viele Schießen zu lassen. Meiner Meinung nach auch ein Grund, warum Custodes in BB spielen so stark sind, alles auf 2+ treffen mit 1er Reroll ist eben fast der Erwartungswert.

  • Würde das noch etwas anders formulieren.
    Jeder Würfelwurf, wie auch jeder Würfel ist unabhängig voneinander.
    Du kannst unendlich mal die 1 hintereinander würfeln, genauso interessiert es einen Würfel nicht ob der daneben schon eine 1 zeigt.

  • Super Beitrag, vielen Dank an den Verfasser!
    Wird für mich noch etwas dauern bis ich mich mit Formeln beschäftige, aber der Tipp mit den Casino Würfeln
    ist gold wert, mir war das so vorher nicht bewusst, das "schlichte" Würfel so ungenau sein können (bis 29% statt 16,6%).
    Werde mir da definitiv demnächst welche besorgen. :up:

  • Ja, über die Casinowürfel hab ich auch nachgedacht, aber wenn der andere auch "normale" Würfel nimmt, ists ja egal - dann würde ich das eher als unfair meinerseits finden :S
    Wobei es tatsächlich Würfel gibt, die einfach bäh sind (die weißen GW mit Totenkopf sind bei mir wirklich immer schlecht!), da merkt man die 29% :D

  • Glaube keiner Statistik, die du nicht selbst gefälscht (erhoben) hast.


    Da die Statistik auch schon 12 Jahre alt ist und die Würfelhersteller unter Umständen ihre Produktion verbessert haben können, habe ich einfach eine eigene Statistik erhoben. Es besteht ja auch die urban legend des Würfelbackens. Die Hersteller könnten dies aber auch nutzen, um näher an den idealen Würfel zu kommen.


    Ich habe 25 Würfel genommen und die mit einem Würfelturm in ein Würfelbrett gewürfelt. Dadurch beeinflussen sich die Würfel gegenseitig, allerdings mal in die eine mal in die andere Richtung. Das Ganze hab ich 40x mit Chessex Würfeln und 40x mit GW Würfeln mit Ziffern und mit Totenkopf als 1 gemacht.


    Also habe ich jede Würfelsorte 1000x geworfen. Das ist weniger repräsentativ als 144000 Würfe, aber ich hätte eine Abweichung von ca. +-2-3% erwartet von dem Ergebnis von 29% 1er, also ein Ergebnis von 26%-32% 1er.


    Mit den Chessex hab ich 18,1% 1er geworfen und mit den GW sogar 17,7% 1er, was wesentlich näher am Ideal von 16,67% ist als 29% 1er.



    Also gehe ich davon aus, dass Chessex seine Produktion verbessert hat und dass die GW Würfel mit Ziffern und Totenkopf besser ausgewogen sind als die Würfel aus dem verlinktem Test von 2006.


    Ich würde also eher neuere Würfel anstatt Casinowürfel kaufen.

  • Starbeagle: Coole Sache! Deine Untersuchung unterscheidet sich aber insofern, als da Du nicht jeden Würfel einzeln, sondern das ganze Paket (25 Stück) gewürfelt hast. Es kann somit also immer noch sein, dass einer der Würfel 30% für eine "1", der andere 15% hat. In der Masse egal, aber nur der Form halber: da war der Kollege exakter :)


    Trotzdem gut zu wissen, dass ich meine Chessex nicht beerdigen muss :D

  • Das ist richtig, dass ich insofern ungenau bin, dass ich nicht jeden einzelnd geworfen habe.


    Allerdings wird ja in dem Artikel geschrieben, dass der Würfel mit den wenigsten 1er bei 23% lag und da bin ich ja im Schnitt noch deutlich drunter. Insofern gehe ich wirklich davon aus, dass sich was an den Würfeln geändert hat.

  • Definitiv interessant, hätte ich Würfel von GW würde ich am liebsten selbst ne Testreihe starten... Ich glaub beim nächsten vorbei schauen im GW Laden nehm ich mal nen paar Würfel mit.


    Findet ihr nen Würfelturm sorgt für "bessere" Ergebnisse? Oder verhindert es nur schlicht besser das "mogeln" mit schlecht geworfenen Würfeln?

  • Ich hab mir den Würfelturm für meine Castelan Robots angeschaft, die jeder mit 18 Schuss um die Ecke kommen können.


    So ein Würfelturm eleminiert die bewusste/unbewusste Beeinflussung des Würfelnden. Da ich glaube, dass niemand ernsthaft das bewusste Beeinflussen von Würfelwürfen trainiert, führt es auch nicht zu einem besseren Ergebnis.